Operaciones vectoriales

 

 Todo producto de una operación vectorial dará como resultado un vector, o un escalar.

Un escalar es un número negativo o positivo; y un vector es todo lo que hemos visto en anterior tema. Para estas operaciones siempre debemos trasformar cualquier vector que nos den a sistema de vectores base o sistema de coordenadas rectangulares. 

*Pero antes hay que recordar que los vectores en:

• Plano: Cuando conocemos 2 componentes del vector. Plano (x,y) (x,z) (y,z) 
• Espacio: Cuando conocemos sus 3 componentes (x,y,z).
• Eje: Conocemos solo 1 de sus componentes ya sea x, y o z

Ahora reconociendo esto, podremos comenzar con las operaciones. 

Suma Vectorial; Método Analítico 

Deberemos colocar cada componente de x,y,z de manera ordenada y horizontal (dejando un espacio si no tenemos algún componente), Abajo de este colocamos las componentes del otro vector que nos piden sumar, igualmente de manera ordenada y dejando un espacio si no tenemos alguna componente. Con ordenadamente me refiero a los vectores base i deben ir a la izquierda; los vectores base j deben ir en el centro; los vectores base k deben ir a la derecha. Así como se presenta en esta imagen.

Suma Vectorial; Método Gráfico

Este tiene dos tipos: Para este método no es necesario trasformar a sistema de vectores base, puedes hacerlo con cualquier sistema que se te haga más sencillo de graficar. 

• Método grafico del paralelogramo: Para éste necesitaremos un compás y una regla. Lo primero que debemos hacer es trazar nuestras rectas del plano cartesiano y a continuación procedemos a graficar el 1er vector en cualquier sistema de tu elección, luego trazaremos el 2do vector que nos planteen. Ahora con nuestro compás colocaremos la punta metálica en el origen  y la punta del lapicito al final del 1er vector; procedemos a levantar el compás sin mover la medida que éste nos dejó. Colocaremos la punta metálica del compás en el final del 2do vector trazado y desde allí dibujaremos un arco con la medida que nos dejó el 1er vector. Repetiremos el proceso, tomamos el compas y colocamos la puntita metálica en el origen y la punta de lápiz en el final del 2do vector, procedemos a levantar el compás sin perder ni modificar la medida, colocamos la puntita metálica del compás en el punto final del 1ero vector y desde allí trazamos un arco. Observemos muy bien como ambos arcos en algún momento se cruzaron y con un lápiz marcaremos el punto donde estos se cruzaron. Vamos a realizar una nueva recta, a la que llamaremos R (respuesta), trazándola desde el origen del plano hasta el punto en el que se intersecaron ambos arcos dibujados anteriormente. La medida de ese nuevo vector (R) será la respuesta de la sumatoria del 1ero vector y el 2do vector. Recuerda: Para graficar los vectores debes usar una escala, entonces la respuesta de la sumatoria también se le deberá aplicar la escala y expresarla como es originalmente. Ahora, se llama método del paralelogramo porque efectivamente debe formar esta figura, unimos todas las saetas tanto del 1er vector, 2do vector y vector resultante (R), y logrando formar la figura del paralelogramo al final.

  

En este video puedes ver el procedimiento de una manera un poquito más sencilla: 

• Método gráfico del polígono: En este método necesitaremos una reglita para trazar el plano cartesiano ubicando sus puntos cardinales y ángulos respectivos; (en este método utilizaremos 3 vectores). Ahora debemos trazar el 1er vector que nos plantea el problema, recuerda usar el sistema que más se te facilite graficar, pero en este método te recomiendo utilizar el sistema de coordenadas polares; después que hayamos trazado el 1er vector, en la saeta de éste haremos un nuevo plano cartesiano, es decir que en la saeta del 1er vector, se convertirá en el punto de origen de un nuevo plano. Bien, con el nuevo plano cartesiano debemos trazar el 2do vector, te recomiendo hacerlo de colores diferentes para que sea más sencillo. Ubicaremos la saeta del 2do vector y allí trazaremos un tercer plano cartesiano, es decir, la saeta del 2do vector se convertirá en el punto origen del nuevo plano; y por ultimo en el ultimo plano dibujado, trazaremos el 3er vector. Muy bien, ahora nos falta trazar la recta resultante, que se ubicara desde la saeta del ultimo vector trazado hacia el punto de origen del primer plano cartesiano, Recuerda: La saeta del vector resultante NO puede ubicarse en el origen del primer plano. Puedes ver que la resultante es la recta que junta todos los vectores formando una figura del polígono que puede ser muy variada. Recuera: Debes usar una escala para los vectores y el resultante debe también utilizar la escala pero para volver a su medida original. 

Los polígonos pueden tener todas estas formas irregulares

Producto de un escalar por un vector

En este ejercicio debemos transformar el vector que nos plantea el ejercicio a sistema de vectores base. Aquí te presento ya los vectores que vamos a operar ya trasformados:

Como puedes observar, en esta operación tenemos un termino nuevo fuera del paréntesis, (Un escalar) recuerda que un escalar es cualquier numero ya sea positivo o negativo; cuando tenemos un numerito fuera del paréntesis debemos aplicar la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA a cada uno de los números de dicho paréntesis.

Cuando hayamos aplicado la propiedad distributiva a todos los vectores conservando su vector base proseguiremos a realizar exactamente el mismo proceso que en la suma analítica, colocando a la derecha los vectores base i, en el centro los j, y los vectores base en k a la derecha. Una vez ordenados correctamente y dejando un espacio (0) si no tenemos alguna componente,  sumamos cada una de las columnas u obtenemos un resultado vectorial. 

Producto punto o producto escalar entre dos vectores

Para ésta operación necesitaremos colocar todos los vectores (transformados a sistema de vectores base) que nos propone el ejercicio de manera horizontal, uno debajo de otro. Es fundamental que los coloquemos de manera ordenada es decir los componentes en i en la columna izquierda; los componentes de j en la columna central y la componente k en la columna derecha. Igualmente si el vector carece algún componente ya sea en (i,j,k) debemos colocar el 0 respectivamente. 

Lo que haremos a continuación será multiplicar los componentes en i, multiplicar los componentes en j e igualmente multiplicar los componentes en k . Estos resultados no contendrán vectores base ya que como dice su nombre, es el producto de un escalar así que por ende el resultado deberá ser un escalar. Cuando hayamos obtenido los tres productos respectivamente de cada componente, proseguiremos a sumarlos o restarlos; obteniendo así un escalar.

Producto cruz o producto vectorial de dos vectores

Para esta operación como para las demás, la clave principal para obtener una respuesta correcta es el orden y me parece que especialmente en esta operación el orden es fundamental para la resolución. 

Debemos recalcar que, a diferencia del producto punto, en este caso el orden de sus factores SI altera el resultado, es decir, no es lo mismo vector A producto cruz vector B; que vector B producto cruz vector A. Debemos tener cuidado en el momento de operar y en especial en operaciones combinadas.

Muy bien, ¿Cómo resolvemos este problema? Primero que nada debemos transformar los vectores planteados en sistema de vectores base y a continuación estructuraremos los vectores en la determinante 3x3

Debemos trazar con un lapicito tres columnas para que se nos facilite, en cada columna colocaremos los vectores base (solo letras) i,j,k respectivamente; abajo de éstos colocaremos los componentes que cada vector contiene en su respectiva columna. Ahora cuando hayamos terminado de escribir todas las componentes indicadas (formando 3 filas), volveremos a trazar las dos primeras filas bajo la ultima.

Como puedes ver en la imagen, a continuación trazaremos unas líneas diagonales en ambos sentidos conectando cada unos de los componentes sin que ningún vector base se repita. Con aquellas líneas trazadas proseguiremos a multiplicar cada una de éstas, pero un ojo aquí: las líneas diagonales rojas (secundarias) trazadas al lado contrario son especiales, ya que los valores vectoriales que obtendremos de ellas tendrán obligatoriamente que cambiar de signo. 

Como primer resultado obtendremos 6 componentes, ahora deberemos disminuir los términos semejantes, obteniendo como respuesta un vector con tres componentes en i,j,k. 

Adjuntaré un pequeñito video donde realizan el proceso un poco diferente pero igualmente efectivo, está a tu elección escoger el método más fácil para ti.

Aplicación de operaciones vectoriales

• Ángulo entre dos vectores: Para ésta aplicación deberemos emplear la formula a los vectores que nos proponga la operación.

Recordemos que para sacar el módulo de un vector debemos basarnos en sus componentes; calculando la raíz cuadrada de la primera componente al cuadrado + la segunda componente al cuadrado + la tercera componente al cuadrado. No debemos poner los signos de las componentes es sumamente importante, ten presente que el módulo es positivo y mayor a sus componentes. 

Si nos hablan de ángulo entre dos vectores, efectivamente la respuesta de esta aplicación se expresará en ángulos °.

• Proyección de un vector sobre otro: Para ésta aplicación debemos emplear la siguiente formula:

Recuerda que para sacar el unitario de un vector expresando en sistema de vectores base deberemos aplicar la formula donde unitario es igual a vector A / módulo del vector. Es decir si tengo como vector (10i - 14j) lo dividiré para el modulo del vector que sería 17,20. Cada uno de ellos se deberá dividir para el módulo obteniendo un nuevo vector unitario (con vectores base igualmente).

RECUERDA MUY IMPORTANTE: En el momento de calcular cualquiera de éstas operaciones, generalmente nos presentarán problemas compuestos por varios productos, entonces SIEMPRE deberemos romper de adentro hacia afuera los paréntesis; primero resolver los paréntesis, luego las llaves y por ultimo los corchetes; y como dije , lo más importante en este proceso es el orden que nosotros empleemos, porque trabajaremos con muchos vectores y debemos concentrarnos mucho para no equivocarnos en ningún signo o formula.