Sistemas en los que el vector puede estar expresado

 

1.- Sistema de coordenadas rectangulares

Como nos indica su nombre en este sistema, el vector está formando un triangulo rectángulo, y para hallar una de sus componentes fundamentales necesitaremos emplear la formula matemática del teorema de Pitágoras (donde sus catetos representaran las componentes en x, y;  su hipotenusa equivaldría al modulo del vector). 

Ahora, ¿Cómo identificamos si estos vectores corresponden al sistema de coordenadas rectangulares?, pues bien, debemos darnos cuenta que nos darán dos componentes, es decir, dos numeritos, la unidad de longitud estará fuera del paréntesis y se separarán con el ; . 

Estos vectores están en el plano, porque conocemos sus dos componentes. 

En la imagen podemos identificar que:

• 3= componente Ax
• 6= componente Ay

Aquí aplicaremos la formula de Pitágoras, pero siempre debemos tener en mente que: nunca tomamos en cuenta el signo de sus componentes

• El modulo se representa como el vector encerrado en dos palitos .
• Nunca olvides que el módulo siempre es mayor a sus componentes, siempre es positivo. 

Ahora como dije antes, sus componentes nos ayudarán a determinar en que cuádrate del plano cartesiano se encuentra el vector. Pero ¿cómo? Observando los signos de las componentes y basándonos en ésta tablita deduciremos en que cuadrante se ubica.

De tal manera que identificar su cuadrante será fundamental para procesos siguientes

Ahora debemos calcular la dirección de nuestro vector, para esto recalquemos que la dirección se simboliza con letra griega theta. Para descubrir cual será su dirección, tomamos en cuenta el cuadrante en el que se ubica el vector, y según esto aplicar formulas para cada una. 

Recuerda: Dirección siempre es positiva. La dirección se traza en la recta de manera antihoraria. 

2.- Sistema de coordenadas polares

Muy bien, lo que caracteriza a este sistema, es que siempre nos darán dos datos fundamentales: El módulo del vector y su dirección. ¿Cómo lo identificamos? Podemos saber que un vector está en este sistema cuando posee un número con una unidad de medida de longitud (módulo) y cuando posee otra cantidad con el símbolo de grados ° (dirección).

Pues bien, antes de hacer cualquier procedimiento debemos identificar igualmente, en que cuadrante se encuentra nuestro vector, para eso debemos identificar si la dirección que nos dan entra en los parámetros requeridos de cada cuadrante, para facilitar la comprensión éste cuadrito te ayudará.

• Primer cuadrante porque 0°< 45°<90°
•  Segundo cuadrante porque 90°< 136°<180°
• Tercer cuadrante porque  180° < 202° < 270°
• Cuarto cuadrante porque 270°<350°<360°

Para el calculo de las componentes necesitaremos aplicar la siguiente formula:

• Componente Ax= Módulo del vector multiplicado por Coseno de Dirección 
• Componente Ay= Módulo del vector multiplicado por Seno de Dirección 

Recuerda: Los signos de las componentes deben coincidir con el cuadrante en el que se encuentran.  Deben ser menores a su módulo. 

3.- Sistema de coordenadas geográficas

Muy bien, presta atención aquí! porque vamos a agregar un nuevo elemento a éstas operaciones. 

Un vector esta expresado en este sistema cuando conocemos dos cosas: Su módulo y su rumbo. El módulo se identifica porque vemos la unidad de longitud dentro del paréntesis y porque es un número positivo, el rumbo lo identificamos muy fácilmente, ya que siempre estará acompañado de los puntos cardinales.

Pero antes ¿Qué es el Rumbo? El rumbo es una manera de dirección, pero no es la definitiva, éste utiliza los puntos cardiales Norte, Sur, Este y Oeste.

Como observas en la imagen el Norte se encuentra en la parte superior; el Sur en la parte inferior; el Este en el lado derecho; el Oeste en el lado izquierdo. 

Recordando que en este sistema de coordenadas geográficas no nos dan el dato de dirección, pero podemos sacarlo fácilmente aplicando tan solo sumas y restas, pero aquí te darás cuenta que identificar el cuadrante del vector es muy importante. 

Aquí te presento las formulas igualmente para sacar el rumbo, solo para que verifiquemos que si despejamos la formula de la dirección nos dará exactamente lo mismo.

Ya conociendo la dirección del vector nos permitirá calcular las componentes tanto en x como en y; con las formulas ya propuestas anteriormente donde utilizamos SHIFT tangente.

En el gif puedes observar gráficamente como el rumbo se traza con el color rojo y la dirección con color azul. A diferencia de que en el gráfico se trabaja con 3 ejes (x,y,z) pero no te preocupes, de eso hablaremos después.

Pero ahora ¿Cómo trazamos la dirección/ rumbo en el grafico? Utilizaremos un graduador, la cruz en el centro del graduador la ubicaremos en el centro de las rectas, y desde allí ubicaremos  los ángulos que nos propone la dirección o el rumbo y allí trazaremos con lápiz una marca (solo para guiarnos). Si el espacio en el que estas trazando la recta es muy corto, realiza una escala para minimizar las medidas, obviamente en nuestras hojas de trabajo no tendemos espacio en metros para graficar ,entonces puedes hacer una escala de cm=m para poder realizarlo. 

Ahora el módulo que nos propone el ejercicio será el que tenemos que poner en el grafico, por ejemplo: 

si el módulo del vector mide 24m, podemos aplicar una escala de 1cm=4m entonces, únicamente tendremos que hacer una línea que marque 6cm. 

Bien, colocas tu reglita en el ángulo que marcaste anteriormente con lápiz y trazas la línea de 6cm que equivaldría a los 24m de longitud del vector. Recuerda: No olvides ponerle la flechita a la recta, sino no seria un vector. 

La línea amarilla es el Rumbo; y la línea verde es la dirección. Como vez en este ejemplo, el rumbo esta en II Cuadrante y por ende sus puntos cardinales sería Norte, Oeste. 

4.- Sistema de vectores base

Un vector esta expresado en este sistema cuando conocemos sus componentes efectivamente junto con su vector base. 

Estos vectores se encuentran en el espacio porque podemos conocer su 3 componentes tanto en x,y,z. Cada uno de estos ejes lo acompaña una letrita (vector base). Los vectores en éste sistema son muy sencillos de identificar, gracias a sus vectores base i,j,k

*El eje z se ve desde una perspectiva tridimensional del espacio, como pudiste observar en el gift colocado en el anterior sistema*

Podemos ver como los componentes están acompañados con su respectiva letra, ya no se separan con el (;) y tiene su medida de longitud fuera del paréntesis. 

En este sistema el proceso para calcular el modulo y la dirección es exactamente igual al sistema de coordenadas rectangulares; reconocer el cuadrante en el que se encuentra gracias a sus signos y según esto aplicar la formula. En el momento de calcular el modulo y agregar un datos más (es decir el eje z) el proceso es el mismo.  Al hacer la gráfica de este sistema debemos hacer una escala en la recta según las componentes que nos proponen, usando una escala en cm con la equivalencia más conveniente, unir los puntos como pares ordenados y en el PUNTO EN EL QUE AMBAS RECTAS SE INTERSECTEN trazar la flechita del vector (el proceso es igual en el sistema de coordenadas geográficas).

(La componente z tiene una vista tridimensional en la recta) Pero generalmente para hacerlo más sencillo en la grafica, solo utilizamos dos componentes. 

5.- Sistema Módulo y Unitario 

Ojo aquí porque vamos a introducir algo nuevo a las operaciones. Este vector se encuentra en dicho sistema porque conocemos dos cosas fundamentales: Su módulo y Su unitario. El simbolito del unitario es muy llamativo, es como una letra u con una flechita arriba y la letra del vector a un ladito, así que se nos será fácil identificar éste sistema. 

Algunas características que el unitario debe obligatoriamente seguir son:

• Su módulo siempre dará como resultado 1.
• Sus componentes siempre serán menores a 1.

Reconoceremos a un vector expresado en este sistema por el muy singular símbolo del unitario, Recuerda: El unitario también tiene vectores base, es decir  las letras i, j, k correspondientes a cada eje. 

El vector se presentará con un módulo fuera del paréntesis pero Recuerda: No es el módulo del unitario, porque el módulo del unitario siempre será 1, y este módulo independiente no obligatoriamente tiene que serlo.

*Para expresarlo en sistema Módulo y unitario debes aplicar la propiedad distributiva para hallar el resultado.*

Pero ahora, ¿Qué pasa si nos dan un vector expresado en otro sistema y queremos transformarlo a este? Pues bien, a continuación pondré las formulas que debemos tomar para la trasformación:

• Sí el vector está en sistema de coordenadas rectangulares la formula aplicada sería: 
  
• Sí el vector está en sistema de coordenadas polares la formula aplicada sería:
  
• Sí el vector está en sistema de coordenadas  geográficas la formula aplicada sería:

• Sí el vector está en sistema módulo y ángulos directores la formula aplicada será ésta, no te preocupes por esos signos un poco extraños, en el siguiente sistema te explicare como se llaman.

6.- Sistema Módulo y ángulos directores

Muy bien, atención aquí porque sumaremos un nuevo elemento. Este sistema se caracteriza por contener un Módulo y sus ángulos directores, cada eje posee uno, puedes observarlo en la imagen. Se llaman Alfa eje x positivo, Beta eje y positivo y Gama eje z positivo.

Estos vectores pueden encontrarse tanto en el plano (con dos ángulos directores generalmente son Alfa y Beta) o también en el espacio (con tres ángulos directores, Alfa, Beta, Gama)

*Recuerda: Los ángulos directores siempre son menores a 180° y POSITIVOS. 

Para calcular la dirección y componentes del vector debemos seguir algunas pautas explicadas en la tablita de abajito: Pero antes recuerda que debemos identificar si los ángulos directores ya sean Alfa, Beta o Gama son ángulos obtusos o agudos. Ten en cuneta que:

• Ángulos agudos: Menores a 90°
• Ángulos obtusos: Mayores a 90°

Después de eso podemos proseguir a las siguientes reglas para calcular la dirección: 

Primer Cuadrante	Alfa= AGUDO Beta= AGUDO	Alta+ Beta= 90° Alfa = Dirección Beta= Rumbo
Segundo Cuadrante	Alfa= OBTUSO Beta= AGUDO	Beta+ 90°= Alfa Alfa = Dirección Beta= Rumbo
Tercer Cuadrante	Alfa= OBTUSO Beta= OBTUSO	Alfa + Beta= 270° Alfa + Dirección= 360° Beta+ Rumbo= 180°
Cuarto Cuadrante	Alfa= AGUDO Beta= OBTUSO	Alfa 90°= Beta Alfa + Rumbo= 90° Beta+ Rumbo= 180° Dirección+ Alfa= 360°

Cuando tengamos su dirección será más sencillo calcular sus componentes con la formula:

• Componente Ax= Módulo * Coseno de Dirección 
• Componente Ay= Módulo * Seno de Dirección 

    Pero ahora, ¿Cómo calculo los ángulos directores si en este caso me dan las componentes del vector? 

Muy bien, igualmente deberemos usar formulas matemáticas, y recuerda los ángulos directores son COSENOS así que su formula es bastante sencilla. 

Primero hallemos el módulo del vector, y a continuación aplicar formulas para cada ángulo director:

7.- Sistema Módulo, Rumbo y Elevación o depresión

Este es un sistema nuevo y con un nivel más de complejidad, pero ¡Vamos!

El vector se encuentra expresado en este sistema cuando se conocen su Módulo (longitud del vector), Su Rumbo y la elevación o depresión del vector. El sistema se expresa de esta manera:

Un vector en elevación evidentemente va de manera ascendente, mientras que uno de depresión va de manera descendente. Tanto el ángulo de depresión como elevación tienen diferentes maneras de resolución que explicaré a continuación:

• Ángulo de elevación: Cuando es un ángulo de elevación debemos seguir los siguientes pasos= primero sacar el componente Ay= que será igual al MÓDULO* Sen del ángulo elevación; ahora con ese resultado sacaremos el componente Axz= MÓDULO* Cos del ángulo de elevación; más adelante encontraremos las componentes Ax= Axz * Cos dirección; componente Az= -Axz * Sen dirección.
• Ángulo de depresión: Cuando tenemos al vector en depresión debemos primero sacar la componente Ay= que será igual a -MÓDULO* Sen del ángulo depresión; ahora sacaremos Axz= MÓDULO* Cos del ángulo de depresión; ahora con este resultado procedemos a sacar componente Ax= Axz * Cos dirección; y componente Az= -Axz * Sen dirección.

Debo mencionar que: Cuando en un vector nos planteen de ésta manera el rumbo: "NE" se sobreentiende que en la mitad de los puntos cardinales tenemos un 45°, es decir N45°E
Ojo, para sacar la dirección debemos fijarnos en la tablita de Puntos cardinales y Rumbo; de acuerdo a eso podemos hallarla.

Recordatorio: Las fórmulas no se ven afectadas si el vector está en el espacio, es decir posee 3 componentes, se aplica de igual manera la formula agregado un nuevo termino.